RELASI

• Pengertian Relasi

Di kehidupan, pasti ada hubungan atau kita bisa sebut relasi.

Relasi biasa dilambangkan dengan huruf besar R.

Contoh:

c R d notasi untuk (c, d) ∈ R, yang artinya adalah c

dihubungankan dengan d oleh R

P  x S

Himpunan P disebut daerah asal (domain) dari R, dan

himpunan S disebut daerah hasil (range) dari R.

Notasi: R C (P  x S).

Contoh: 

P = {Ryan, Dika, Putra}

S = {Fisika, Geografi, Kimia, Biologi}

P x S = {(Ryan,Fisika), (Ryan,Geografi), (Ryan,Kimia), (Dika,Fisika), (Dika,Geografi), (Dika,Kimia), (Putra,Fisika), (Putra,Geografi), (Putra,Kimia)}

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata pelajaran yang akan

ditempuh siswa SMA, yaitu:

R = {(Ryan,Fisika), (Ryan,Kimia), (Dika,Geografi),

(Dika, Fisika), (Putra,Kimia), (Putra,Geografi)}

Dapat dilihat bahwa R C (P  x S),

- A adalah daerah asal P, dan S adalah daerah hasil R.

- (Ryan,Fisika) ∈  R atau Ryan R Fisika

- (Dika,Kimia)   ∈  R atau Dika R Kimia

• Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

· Kolom P menyatakan daerah asal, sedangkan kolom S menyatakan daerah hasil.

3. Representasi Relasi dengan Matriks

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

• Relasi Inversi

R ̄ ˡ = {(s,p)| (p,s) Î  R

Contoh:

R={(3,1),(1,2),(2,3),(2,8),(15,5)}

Jadi inversnya:

R ̄ ˡ={(1,3),(2,1),(3,2),(8,2),(5,15)}

• Sifat-sifat Relasi

1. Refleksif

    Disebut refleksif jika (a, a) ∈  R untuk setiap a ∈  P.

    Tidak refleksif jika ada a ∈  P demikian sehingga (a, a) ∈  R.

    Contoh:

    P = {3,4,5,6}

    (a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} bersifat refleksif
    karena terdapat elemen relasi yang berbentuk yaitu (1, 1), (2, 2), dan (3, 3).

    (b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}tidak

    bersifat refleksif karena (5, 5)  ∈  R / (5, 5) bukan anggota R.

2. Transitive / Menghantar

     Disebut menghantar jika (a, b) ∈  R dan (b, c) ∈  R, maka (a, c) ∈  R,
     untuk a, b, c ∈  P.

     Contoh:

     Misalkan P = {1, 2, 3, 4}

     (a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

     (b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2)
      C R, tetapi (2, 2) ∈  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  ∈   R, tetapi (4, 3) ∈  R.

     (c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

     (d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈  R
          dan (b, c) ∈  R sedemikian sehingga (a, c)  ∈ R.

     (e) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

3. Simetri dan Anti Simetri

     Bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b,a) ∈ R.
     Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈  R.

     Dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
     berlaku hanya jika a = b. Perhatikan istilah simetri dan anti simetri tidak    
     berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun,
     relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika terdapat beberapa    
     pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.