Di kehidupan, pasti ada hubungan atau kita bisa
sebut relasi.
Relasi biasa
dilambangkan dengan huruf besar R.
Contoh:
c R d notasi
untuk (c, d) ∈ R,
yang artinya adalah c
dihubungankan
dengan d oleh R
P
x S
Himpunan
P disebut daerah asal (domain) dari R, dan
himpunan
S disebut daerah hasil (range) dari R.
Notasi:
R C (P x S).
Contoh:
P = {Ryan, Dika, Putra}
S = {Fisika, Geografi,
Kimia, Biologi}
P x S = {(Ryan,Fisika), (Ryan,Geografi),
(Ryan,Kimia), (Dika,Fisika), (Dika,Geografi), (Dika,Kimia), (Putra,Fisika), (Putra,Geografi),
(Putra,Kimia)}
Misalkan
R adalah relasi yang menyatakan
mata pelajaran yang akan
ditempuh
siswa SMA, yaitu:
R = {(Ryan,Fisika),
(Ryan,Kimia), (Dika,Geografi),
(Dika, Fisika), (Putra,Kimia), (Putra,Geografi)}
Dapat
dilihat bahwa R C (P
x S),
-
A adalah daerah asal P, dan S adalah
daerah hasil R.
-
(Ryan,Fisika)
∈
R atau
Ryan R Fisika
-
(Dika,Kimia)
∈
R atau
Dika R Kimia
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah
2.
Representasi Relasi dengan Tabel
· Kolom
P menyatakan daerah asal, sedangkan kolom S menyatakan daerah hasil.
3.
Representasi Relasi dengan Matriks
4. Representasi Relasi
dengan Graf Berarah
R
̄ ˡ = {(s,p)| (p,s) Î R
Contoh:
R={(3,1),(1,2),(2,3),(2,8),(15,5)}
Jadi
inversnya:
R ̄ ˡ={(1,3),(2,1),(3,2),(8,2),(5,15)}
1. Refleksif
Disebut refleksif jika (a, a)
∈ R untuk setiap a
∈
P.
Tidak refleksif jika ada a
∈
P demikian sehingga (a, a)
∈
R.
Contoh:
P = {3,4,5,6}
(a) R
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} bersifat
refleksif
karena terdapat elemen relasi yang berbentuk yaitu (1, 1), (2, 2),
dan (3, 3).
(b) R
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}tidak
bersifat
refleksif karena (5, 5)
∈
R
/ (5, 5) bukan anggota R.
2. Transitive / Menghantar
Disebut menghantar jika (a, b)
∈
R dan (b, c)
∈
R, maka (a, c)
∈
R,
untuk a, b,
c
∈
P.
Contoh:
Misalkan P = {1, 2, 3, 4}
(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }
bersifat menghantar.
(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar
karena (2, 4) dan (4, 2)
C R, tetapi (2, 2)
∈
R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)
∈
R, tetapi (4, 3)
∈
R.
(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas
menghantar
(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b)
∈
R
dan (b, c)
∈
R sedemikian sehingga (a, c) ∈
R.
(e) Relasi yang hanya
berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.
3. Simetri dan Anti Simetri
Bersifat simetri jika (a,
b) ∈ R,
untuk setiap a, b ∈ A, maka (b,a) ∈ R.
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a,
b) ∈ R.
Dikatakan anti simetri jika
untuk setiap a, b ∈ A,
(a, b) ∈ R dan
(b, a) ∈ R
berlaku
hanya jika a = b. Perhatikan istilah simetri dan anti simetri
tidak
berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus.
Namun,
relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika terdapat beberapa
pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a
≠ b.