ANOMALI KEY

LOSSLESS & LOSSY JOIN DECOMPOTITION

TABEL PEMETAAN DARI ERD POLIKLINIK UDINUS

ERD POLIKLINIK UDINUS

INDUKSI MATEMATIKA

• Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah cara untuk membuktikan bahwa sebuah persamaan bernilai benar untuk bilangan asli.

• Tahapan-tahapan dari Induksi Matematika :

1. Tunjukan kalau P(1) benar.

2. Jika P(1) benar maka P(n+1) jga benar.

3. Sehingga diperoleh  P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

• Contoh Soal :

1). Buktikan n³+2n adalah kelipatan 3, untuk semua        bilangan asli

1.          jawab:
          n³+2n  adalah kelipatan 3
          untuk n = 1.

     1³+2.1=1+2=3 ==> kelipatan 3 ==> bernilai 1
       Asumsikan bahwa n³+2n adalah kelipatan 3 untuk n = k  juga untuk n= k+ 1

     n³ +2n = (k+1)³+2(k+1) = (k³+3k²+3k+1)+ 2k+2

                                = k³+3k²+5k+3

   (n=1) = 1³+3.1²+5.1+3 = 12 ==> adalah kelipatan 3 ==> bernilai 4

   (n=2) = 2³+3.2²+5.2+3 = 8+12+10+3 = 33 ==> kelipatan 3 ==> 10

2). Buktikan 2ⁿ x n² , untuk n=4

     Karena 2⁴=16=4², maka  benar n=4.

     Asumsikan 2ⁿ x n²  dan juga n²  x 2n+1

     2ⁿ⁺¹ = 2(2ⁿ) 2(n²) = n² +n²  n² +2n +1=(n+1)²

               untuk n+1 benar. Menurut prinsip induksi matematika, bahwa n=4.

RELASI

• Pengertian Relasi

Di kehidupan, pasti ada hubungan atau kita bisa sebut relasi.

Relasi biasa dilambangkan dengan huruf besar R.

Contoh:

c R d notasi untuk (c, d) ∈ R, yang artinya adalah c

dihubungankan dengan d oleh R

P  x S

Himpunan P disebut daerah asal (domain) dari R, dan

himpunan S disebut daerah hasil (range) dari R.

Notasi: R C (P  x S).

Contoh: 

P = {Ryan, Dika, Putra}

S = {Fisika, Geografi, Kimia, Biologi}

P x S = {(Ryan,Fisika), (Ryan,Geografi), (Ryan,Kimia), (Dika,Fisika), (Dika,Geografi), (Dika,Kimia), (Putra,Fisika), (Putra,Geografi), (Putra,Kimia)}

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata pelajaran yang akan

ditempuh siswa SMA, yaitu:

R = {(Ryan,Fisika), (Ryan,Kimia), (Dika,Geografi),

(Dika, Fisika), (Putra,Kimia), (Putra,Geografi)}

Dapat dilihat bahwa R C (P  x S),

- A adalah daerah asal P, dan S adalah daerah hasil R.

- (Ryan,Fisika) ∈  R atau Ryan R Fisika

- (Dika,Kimia)   ∈  R atau Dika R Kimia

• Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

· Kolom P menyatakan daerah asal, sedangkan kolom S menyatakan daerah hasil.

3. Representasi Relasi dengan Matriks

4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah

• Relasi Inversi

R ̄ ˡ = {(s,p)| (p,s) Î  R

Contoh:

R={(3,1),(1,2),(2,3),(2,8),(15,5)}

Jadi inversnya:

R ̄ ˡ={(1,3),(2,1),(3,2),(8,2),(5,15)}

• Sifat-sifat Relasi

1. Refleksif

    Disebut refleksif jika (a, a) ∈  R untuk setiap a ∈  P.

    Tidak refleksif jika ada a ∈  P demikian sehingga (a, a) ∈  R.

    Contoh:

    P = {3,4,5,6}

    (a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} bersifat refleksif
    karena terdapat elemen relasi yang berbentuk yaitu (1, 1), (2, 2), dan (3, 3).

    (b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}tidak

    bersifat refleksif karena (5, 5)  ∈  R / (5, 5) bukan anggota R.

2. Transitive / Menghantar

     Disebut menghantar jika (a, b) ∈  R dan (b, c) ∈  R, maka (a, c) ∈  R,
     untuk a, b, c ∈  P.

     Contoh:

     Misalkan P = {1, 2, 3, 4}

     (a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

     (b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2)
      C R, tetapi (2, 2) ∈  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  ∈   R, tetapi (4, 3) ∈  R.

     (c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar

     (d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) ∈  R
          dan (b, c) ∈  R sedemikian sehingga (a, c)  ∈ R.

     (e) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

3. Simetri dan Anti Simetri

     Bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b,a) ∈ R.
     Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈  R.

     Dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R
     berlaku hanya jika a = b. Perhatikan istilah simetri dan anti simetri tidak    
     berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun,
     relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika terdapat beberapa    
     pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.